This volume contains the proceedings of the International Research Workshop on Periods and Motives--A Modern Perspective on Renormalization, held from July 2-6, 2012, at the Instituto de Ciencias Matemáticas, Madrid, Spain. Feynman amplitudes are integrals attached to Feynman diagrams by means of Feynman rules. They form a central part of perturbative quantum field theory, where they appear as coefficients of power series expansions of probability amplitudes for physical processes. The efficient computation of Feynman amplitudes is pivotal for theoretical predictions in particle physics. Periods are numbers computed as integrals of algebraic differential forms over topological cycles on algebraic varieties. The term originated from the period of a periodic elliptic function, which can be computed as an elliptic integral. Motives emerged from Grothendieck's "universal cohomology theory", where they describe an intermediate step between algebraic varieties and their linear invariants (cohomology). The theory of motives provides a conceptual framework for the study of periods. In recent work, a beautiful relation between Feynman amplitudes, motives and periods has emerged. The articles provide an exciting panoramic view on recent developments in this fascinating and fruitful interaction between pure mathematics and modern theoretical physics.
This book is based on lectures given at the Graduate Summer School of the 2015 Park City Mathematics Institute program “Geometry of moduli spaces and representation theory”, and is devoted to several interrelated topics in algebraic geometry, topology of algebraic varieties, and representation theory. Geometric representation theory is a young but fast developing research area at the intersection of these subjects. An early profound achievement was the famous conjecture by Kazhdan–Lusztig about characters of highest weight modules over a complex semi-simple Lie algebra, and its subsequent proof by Beilinson-Bernstein and Brylinski-Kashiwara. Two remarkable features of this proof have inspired much of subsequent development: intricate algebraic data turned out to be encoded in topological invariants of singular geometric spaces, while proving this fact required deep general theorems from algebraic geometry. Another focus of the program was enumerative algebraic geometry. Recent progress showed the role of Lie theoretic structures in problems such as calculation of quantum cohomology, K-theory, etc. Although the motivation and technical background of these constructions is quite different from that of geometric Langlands duality, both theories deal with topological invariants of moduli spaces of maps from a target of complex dimension one. Thus they are at least heuristically related, while several recent works indicate possible strong technical connections. The main goal of this collection of notes is to provide young researchers and experts alike with an introduction to these areas of active research and promote interaction between the two related directions.
Algebraic groups play much the same role for algebraists as Lie groups play for analysts. This book is the first comprehensive introduction to the theory of algebraic group schemes over fields that includes the structure theory of semisimple algebraic groups, and is written in the language of modern algebraic geometry. The first eight chapters study general algebraic group schemes over a field and culminate in a proof of the Barsotti–Chevalley theorem, realizing every algebraic group as an extension of an abelian variety by an affine group. After a review of the Tannakian philosophy, the author provides short accounts of Lie algebras and finite group schemes. The later chapters treat reductive algebraic groups over arbitrary fields, including the Borel–Chevalley structure theory. Solvable algebraic groups are studied in detail. Prerequisites have also been kept to a minimum so that the book is accessible to non-specialists in algebraic geometry.
Wer die Geschichte einer Wissenschaft verstehen will, tut gut daran, die bahnbrechenden Fragestellungen und ihren – offenen oder latenten – Wettbewerb ernst zu nehmen – in ihnen verkörpern sich die Bewegung des Wissens und der Kampf der Begriffe. Renate Schlesier spürt dieser Bewegung und diesem Kampf nach – in und an den Werken großer Gelehrter, die die Religion, die Mythen, Rituale und Kulte der Antike erforscht und ihre Bedeutung interpretiert haben: Karl Otfried Müller, Otto Jahn, Jane Ellen Harrison, Eduard Meyer, Claude Lévi-Strauss, Jean-Pierre Vernant u. a. m. Es entsteht so ein imponierendes Panorama anthropologischer Denkstile und Verfahrensweisen: Wissenschaftlergeschichte als Wissenschaftsgeschichte. (Dieser Text bezieht sich auf eine frühere Ausgabe.)
This reprint of the original 1914 edition of this famous work contains many topics that had to be omitted from later editions, notably, Symmetric Sets, Principle of Duality, most of the ``Algebra'' of Sets, Partially Ordered Sets, Arbitrary Sets of Complexes, Normal Types, Initial and Final Ordering, Complexes of Real Numbers, General Topological Spaces, Euclidean Spaces, the Special Methods Applicable in the Euclidean Plane, Jordan's Separation Theorem, the Theory of Content and Measure, the Theory of the Lebesgue Integral. The text is in German.
Die Oper ist in vielerlei Hinsicht das außergewöhnlichste künstlerische Medium der letzten 400 Jahre: Opernhäuser, Ausstattung, Technik und nicht zuletzt die Künstler lassen sie zu einer nachgerade unerschwinglich teuren Kunstform werden – eine Kunstform, die zudem offenkundig unrealistisch ist. Und doch vermag nichts anderes menschliche Leidenschaften mit solch überwältigender Kraft, Dramatik und Gefühlsstärke auszudrücken wie gerade die Oper. Dieses Buch – seit langem die erste einbändige und zugleich umfassende Gesamtdarstellung zu diesem Thema – liest sich wie eine Ode an die Oper selbst. Seine beiden Autoren stellen zahlreiche Werke der bekanntesten Opernkomponisten vor: von Monteverdi, Händel und Mozart über Verdi, Wagner, Strauss und Puccini bis zu Berg und Britten. Sie bieten einen anschaulichen, oft amüsanten und stets informativen Überblick über die sozialen und politischen Hintergründe der jeweiligen Kompositionen, beziehen deren literarische Kontexte und die wirtschaftlichen Verhältnisse mit ein, unter denen sie entstanden sind, und vernachlässigen auch nicht die Polemiken, die das Operngeschehen über die Jahrhunderte kontinuierlich begleitet haben. Auch wenn inzwischen die beliebtesten und langlebigsten Werke aus einer längst vergangenen Epoche stammen, deren Lebensumstände uns heute völlig fremd sind – und auch wenn die zeitgenössische Oper heutzutage auf den Bühnen kaum eine Rolle spielt –, so hat die Oper doch nichts an Reiz, Lebendigkeit und Attraktion eingebüßt. Heute wie vor 400 Jahren lässt sie das Publikum Tränen vergießen, zischen, heftig debattieren oder in Begeisterungsstürme ausbrechen. In dieser Wirkungsmacht übertrifft sie jede andere Kunstform.
Zusammen mit der Abstraktion ist die Mathematik das entscheidende Werkzeug für technologische Innovationen. Das Buch bietet eine Einführung in zahlreiche Anwendungen der Mathematik auf dem Gebiet der Technologie. Meist werden moderne Anwendungen dargestellt, die heute zum Alltag gehören. Die mathematischen Grundlagen für technologische Anwendungen sind dabei relativ elementar, was die Leistungsstärke der mathematischen Modellbildung und der mathematischen Hilfsmittel beweist. Mit zahlreichen originellen Übungen am Ende eines jeden Kapitels.

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